Jalons : Mathématiques et curriculum

Le texte présenté ici, sous le nom de « jalon » pour indiquer son statut provisoire, s’inscrit dans une démarche de réflexion visant à questionner. Au total, c’est plus d’une vingtaine de jalons qui sont proposés dans ce blog.
Pour sortir du simplisme ordinaire, chaque jalon tente de remonter à l’histoire, de porter la lumière sur quantité d’angles morts et, au bout du compte, de formuler des questions qui interpellent… non pas les seuls spécialistes, mais tout un chacun.
Bien sûr, une intention peut être un pari : celui de penser qu’il peut être particulièrement productif de travailler ces questions en cohérence, dans une perspective nouvelle, dite « curriculaire », c’est-à-dire débordant le cadre ordinaire des programmes, des ordres d’enseignement et des disciplines instituées en s’intéressant à la légitimité de ce qu’enseigne l’école, aux valeurs que portent les savoirs qu’elle diffuse et à la façon dont elle évalue les élèves.
Ces textes sont l’une des matières première de l’événement intitulé Désordre dans les savoirs scolaires : interpellation du curriculum français (Paris, Bibliothèque nationale de France, samedi 20 novembre 2021).

A. Quels désaccords ?

Pourquoi enseigner les mathématiques et à qui ? Les tenants d’une formation de l’esprit s’opposent à ceux d’un enseignement à visée technique. Les contenus censés former au raisonnement et à la rigueur diffèrent de ceux qui fournissent des outils pour la vie sociale, professionnelle ou pour les autres disciplines.

Au désaccord sur les objectifs et les contenus, s’ajoute celui sur les élèves : un enseignement limité à une élite ou qui s’adresse à tous.

B.  D’où viennent-ils ?

Une synthèse balayant cinq millénaires d’enseignement des mathématiques (Dorier, 2018) distingue : 1° une formation à visée professionnelle pour ceux qui assurent le fonctionnement social (scribes, banquiers, commerçants, militaires, ingénieurs, etc.) ; 2° une formation pour les élites où les mathématiques visent seulement à développer l’esprit (Antiquité grecque, Moyen-Âge et jusqu’au XIXe siècle) ; 3° une formation de base, pour la résolution de problèmes concrets de calcul et de mesure, assurée d’abord par les familles puis dans les écoles.

L’enseignement des mathématiques a évolué : au début du XXe siècle, il est encore absent de l’enseignement secondaire classique dont la vocation reste humaniste et désintéressée (Gispert, 2002). L’important besoin en mathématiques généré par la révolution industrielle sera pris en compte par la réforme de 1902 en en généralisant l’enseignement à l’ensemble des lycéens, ce qui reste insuffisant car le lycée concerne seulement 3 à 5% d’une classe d’âge. 

Les oppositions anciennes perdurent : d’une part, quant aux objectifs pour les écoliers et les collégiens qui reçoivent tous le même enseignement et, d’autre part, quant aux objectifs selon les filières, en fonction de la sélection des élèves à qui l’enseignement est dispensé.

C.  Quelles conséquences ?

Une convergence est obtenue, vers la fin des années 1960, dans un contexte de démocratisation du système scolaire : la réforme des « mathématiques modernes » rompt avec la tradition en prescrivant des contenus théoriques datant de moins d’un siècle, propices à former l’esprit et à donner des outils adaptés à la société moderne (Walusinski, 1986). Cette réforme n’ayant pas été probante, un mouvement de contre-réforme émerge dès la fin des années 1970 qui écarta ces nouveaux contenus des programmes scolaires. La synthèse effectuée par les mathématiques modernes entre formation intellectuelle et pratique est abandonnée. Revuz, partisan d’une telle convergence, pose en 1980 la question : « est-il impossible d’enseigner les mathématiques ? ».

La nature des savoirs mathématiques rend la synthèse difficile : leur signification tient aux réponses qu’ils apportent à des problèmes, issus souvent d’autres disciplines, mais aussi à des besoins de formalisation, d’unification et de généralisation (Robert, 1998). Les savoirs mathématiques sont en outre abstraits et organisés de façon déductive. Depuis les années 1980, malgré des tentatives régulières de retour à l’ancien clivage, la synthèse est recherchée en s’appuyant sur cette dialectique « outil-objet » des savoirs mathématiques (Douady, 1986), c’est-à-dire en fondant l’enseignement des mathématiques sur la « résolution de problèmes ».

L’enseignement, dans le monde occidental, a connu les mêmes réformes, avec plus ou moins d’intensité. Que le sens des mathématiques tienne à la capacité à les mobiliser pour résoudre des problèmes semble un point de vue partagé, qui conduit d’ailleurs les organisations internationales à proposer des évaluations communes à de nombreux pays. À y regarder de près, la question est toutefois loin d’être résolue (Roditi & Salles, 2015) : le niveau technique est très variable, comme l’est l’étendue des contenus enseignés et l’exigence de savoirs organisés et démontrés.

La diversité des cursus différencie l’enseignement en fonction des publics, elle conduit aussi à faire revivre, localement, le désaccord originel lié à la question « pourquoi et à qui enseigner les mathématiques ? ».

D. Quelles questions de fond ?

  • Faut-il enseigner les savoirs et les questions auxquels ils répondent ? Si oui, dans quel ordre ? Et toutes les questions ? Les savoirs et leur validité et/ou les techniques et leurs applications ? Les techniques seulement ou aussi l’utilisation des outils technologiques ? Et si les deux, quand et avec quelle pondération ?
  • D’autres questions tiennent aux élèves : faut-il attendre un certain développement intellectuel ou au contraire le stimuler par l’enseignement ? En mathématiques, la validité d’un résultat évolue selon le corpus au sein duquel il est considéré [1]. Y a-t-il alors des périodes du développement à privilégier ou à éviter pour étendre le corpus ?
  • D’autres questions concernent le choix des savoirs selon les cursus, l’appétence pour cette discipline étant variable avec un rejet parfois violent pour une partie importante de la population. Et des questions se posent encore sur la formation des professeurs, et sur leur polyvalence dans le premier degré…

[1] La proposition « chaque nombre a un successeur » est vraie pour les nombres entiers et devient fausse avec les nombres décimaux ; la proposition « un carré est un nombre positif » est vraie pour les nombres réels et devient fausse avec les nombres imaginaires ; le constat suffit à faire preuve tant que les savoirs ne sont pas organisés, puis il devient nécessaire de démontrer ; etc.


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